CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

     



Bạn đang xem: Các dạng bài tập tính thể tích khối đa diện

*
39 trang
*
haha99
*
881
*
0Download


Xem thêm: Bài Văn Thuyết Minh Về Chiếc Áo Dài Việt Nam Ngắn Gọn, Đề Văn 8: Thuyết Minh Về Tà Áo Dài Việt Nam

Bạn đã xem đôi mươi trang mẫu mã của tư liệu "Bài tập về Thể tích các khối nhiều diện", để thiết lập tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sống trên


Xem thêm: Việc Làm Đánh Máy Thuê Online Tại Nhà Thu Nhập Cao, Nhận Đánh Văn Bản Thuê

Thể tích khối nhiều diệnA. Lý thuyết1. định nghĩa thể tích của một khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Những công thức tính thể tích của khối đa diệna) Thể tích khối hộp chữ nhậtV = abc cùng với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhậtb) Thể tích của khối chópV= Sđáy . H ; h: độ cao của khối chópc) Thể tích của khối lăng trụV= Sđáy . H ; h: độ cao của khối lăng trụB. Các dạng bài xích tậpDạng 1. Tính thể tích của khối đa diện*Phương pháp: Để tính thể tích của khối nhiều diện ta có thể:+áp dụng trực tiếp những công thức tính thể tích+Chia khối đa diện thành các khối bé dại hơn nhưng thể tích của những khối đó tính được+Bổ sung thêm bên ngoài các khối nhiều diện để được một khối nhiều diện rất có thể tính thể tích bởi công thức với phần bù vào cũng tính được thể tích.*Các bài tập1)Về thể tích của khối chóp+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta đo lường và thống kê chiều cao, diện tích đáy và vận dụng công thức :V= Sđáy . H bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác gần như SABC trong những trường hòa hợp sau:Cạnh đáy bởi a, góc ABC = 60o AB = a, SA = lSA = l, góc giữa mặt mặt và dưới mặt đáy bằng αgiải:a) điện thoại tư vấn O là trung khu ∆ABC đầy đủ ⇒ SO ⊥(ABC) SABC =a=∆ABC có SA = SB; ABC = 60o ⇒ SA = AB = SB = aSO ⊥ OA ( do SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (a)2 = ⇒ SO = aVậy VSABC = S∆ABC . SO = .. A. B) giống như câu a đáp số: VSABC = . .c) gọi O là vai trung phong ∆ABCGọi A’ là trung điểm BCDễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = αTam giác vuông SOA có: SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2Tam giác vuông SOA’ có: (2)Từ (1) (2) ta có: AA’2(sin2 α + 4) = 9l2S∆ABC = ⇒VSABC = S∆ABC . SO =Bài 2. đến lăng trụ ABCA’B’C’ tất cả độ dài sát bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ bên trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC theo a?Giải.-Gọi H là trung điểm BC ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)-Ta gồm S∆ABC = -Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AHTam giác vuông A’HA có:A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - .(a2 + 3a2)hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a⇒VA’ABC = S∆ABC .A’H =Bài 3. Hình chóp SABCD gồm SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vuông cân tất cả AB = BC =a. B’ là trung điểm SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SACa) tính VSABCb) minh chứng rằng AB ⊥ (AB’C’). Tính VSAB’C’Giảia)S∆ABC = ; SA =a⇒ VSABC = S∆ABC .SA = a3b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân nặng tại A ⇒ AB’ ⊥ SBB’S = B’BBC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)AC’ ⊥ SC cách 1 vày AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒S∆AB’C’ = ⇒V∆AB’C’ = bí quyết 2Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. Tính VSABC.GiảiDễ thấy (SB, (ABC)) = α = SBA(SB, (SAD)) = β = BSD∆ABC cân ⇒ AD ⊥ BCDB = DC∆SAB có cos α = (1)BC ⊥ AD BC ⊥ SA (vì SA⊥ (ABC)⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SDTam giác vuông SB bao gồm sinβ = (2)Từ (1) (2) ⇒ ⇒ ⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = S∆SAB =BD.AD = SA = AB. Chảy α =⇒ VSABC = SA.S∆ABC == bài bác 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Những nửa mặt đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với phương diện phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N ko trùng với C bên trên Cy. Đặt AM = m, cn = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.GiảiGọi I là giao điểm của AC với BDTa có BD ⊥ AC (vì ABCD là hình vuông)(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)⇒ BD ⊥ (AMNC) ⇒ BI ⊥ (AMNC)BI = diện tích hình thang AMNC là S =VAMNC = *Nếu khối chóp đề xuất tính thể tích không bíết chiều cao thì ta phải khẳng định đựơc địa điểm chân đường cao hơn đáy.Ta có một số trong những nhận xét sau:-Nếu hình chóp có sát bên nghiêng gần như trên lòng hoặc các ở bên cạnh bằng nhau thì chân đường cao là chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp đáy. -Nếu hình chóp có những mặt bên nghiêng hầu như trên lòng hoặc có những đường cao của những mặt bên bắt nguồn từ một đỉnh bằng nhau thì chân con đường cao là trung tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp xuất hiện bên hoặc khía cạnh mặt chéo cánh vuông góc với lòng thì đường cao của hình chóp là mặt đường cao của mặt mặt hoặc mặt chéo đó.-Nếu có một mặt đường thẳng vuông góc với dưới mặt đáy của khối chóp thì mặt đường cao của khối chóp sẽ tuy vậy song hoặc ở trờn với mặt đường thẳng đó.-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng cất đỉnh của khối chóp thì mặt đường cao của khối chóp là mặt đường thẳng kẻ tự đỉnh vuông góc cùng với giao con đường của dưới đáy và khía cạnh phẳng cất đỉnh sẽ nói sinh sống trên.*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta bắt buộc khéo chọn dưới mặt đáy thích hợp.Bài 6: SABCD tất cả đáy là trung khu giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α. Tính VSABC Giải- điện thoại tư vấn H là hình chiếu của S lên (ABC)- bởi các cạnh bên nghiêng số đông trên đáy ⇒ H là trung khu đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.- Ta có: ∆ABC = cơ mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = ⇒ S∆ABC =HA = R = tung giác vuông tất cả tan α =⇒ SH =⇒VSABC = bài bác 7: SABC tất cả đáy ABCD là hình bình hành cùng SABCD = và góc giữa 2 đường chéo = 60o. Các cạnh bên nghiêng những trên đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD Giải-Hạ SO ⊥ (ABCD)- vày khối chóp có các bên nghiêng hầu như trên đáy. ⇒ O là trung ương đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và O = AC ∩ BD- Đặt AC = BD =x.Ta tất cả ShcnABCD = AC.BD.sin60o =⇒ x=3- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vuông cân tại S ⇒ SO = ⇒ VSABCD = bài 8: SABC bao gồm SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuôngTính VSABCGiảia) ⇒ AB = a-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2-∆SAC gồm AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-) =3a2-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại Bb) Hạ SH ⊥ (ABC)Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H là trung điểm AC∆ABC vuông tại BTam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = bh = (Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đa số ⇒ SH = )⇒VSABC = bài 9: SABCD gồm đáy ABCD là hình thang cùng với đáy phệ AB = 2, ngân hàng á châu = 90o. ∆SAC với ∆SBD là những tam giác đều phải có cạnh = . Tính thể tích khối chóp SABCD.Đáp số: VSABCD = bài 10: SABCD gồm đáy là hình thang vuông trên A cùng D, ∆SAD đông đảo cạnh = 2a, BC = 3a. Những mặt bên lập cùng với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCDGiải- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)- Vì những mặt mặt lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là trung ương đường tròn nội tiếp đáy- điện thoại tư vấn K là hình chiếu của H lên AD- Ta có HK = - Tam giác vuông SHK bao gồm HK = aSK = (vì ∆SAD đều)⇒SH = vì chưng ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a⇒SABCD = ⇒VSABCD = bài xích 11: mang lại hình chóp SABCD tất cả ABCD là hình vuông vắn cạnh 2a, SA = a, SB = a, (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDNGiải∆SAB hạ SH b AB(SAB) b (ABCD)⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)S∆CDN = S∆MDA = S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = S⋄ABCD = 2a.2a = 2a2∆SAB tất cả AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông tại S ⇒ ⇒ SH = ⇒VSBMDN = S⋄BMDN.SH = bài 12: SABCD tất cả ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = AD. ∆SBD vuông trên S và phía trong mặt phẳng vuông góc cùng với đáy. SB = 8a, SD = 15a. Tính VSABCDGiải-Trong ∆SBD kẻ SH b BDVì (SBD) b (ABCD)⇒SH b (ABCD)-Tam giác vuông SBD tất cả hay tốt -Vì hình thang có AB = BC = CD =AD ⇒ = 60o, B = C = 120o-∆SBD bao gồm BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a∆CBD có BD2 =2BC2(1+) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = S∆BCD = S⋄ABCD = 3S∆BCD = ⇒VSABCD =S⋄ABCD.SH = = 170a3Bài 13: hình chóp SACD tất cả đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và phía trong mặt phẳng (ABCD). ∆SAB gồm SA = a, ASB = 2 α và nằm trong mặt phẳng lập cùng với (SCD) một góc α. Tính thể tích khối chóp SABCDGiảiTrong ∆SCD hạ SH CDVì ∆SCD cân tại S⇒ H là trung điểm CD.SH CD(SCD) (ABCD⇒ SH (ABCD)Gọi K là trung điểm AB Ta có HK ABAB SH (vì SH (ABD))⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB cân nặng tại SDễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = α∆SAB tất cả SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α∆SHK vuông tại H gồm SH =SK.cosα = acos2 αKH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = αBài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông trên B, SA b (ABC). Acb =60o, BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABCGiảiCách 1. SA b (ABC)Từ M kẻ MH // AS cắt AB trên H ⇒ MH b (ABC)Vì M trung điểm SB H- trung điểmMH=S∆ABC = VMABC = biện pháp 2. VMABC = cơ mà VSABC = SA.S∆ABC = ⇒Vmabc = bài xích 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD), AB = a, SA = a. H, K thứu tự là hình chiếu vuông góc của A bên trên SB, SD. Minh chứng rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.GiảiAH SB (gt) (1)BC AB (vì ABCD là hình vuông)BC SA (vì SA (ABCD))⇒BC (SAB) BC AH (2)Từ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)Chứng minh giống như ta có: SC AK (4)Từ (3) (4) ⇒ SC (AKH)Gọi F = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AFKéo dài AF cắt SC tại NTrong (SAC) kẻ mặt đường thẳng qua O//SC cắt AN trên E ⇒ OE (AHK)Vì OA = OC; OE//CN OE = CNTam giác vuông SAD tất cả ⇒ AK = hay thấy AH =∆AKH cân tại ADễ thấy ∆SBD gồm mà SK = SD = a⇒HK = BD = OF = SO ⇒∆SAC có : OA = OC⇒ ⇒OE =SN = a S∆AHK =KH. = ⇒ V = * rất có thể dùng PP toạ độ nhằm tính thể tích OAHK như sau:Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a) , O(, , 0)∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒ SK=⇒K(0, , )∆ABS có ⇒ SH=⇒H(,0,)Ta gồm <> =() ⇒ VOAHK=|<>.|=Bài 16: Hình chóp SABCD gồm ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, SA = a, SA (ABCD). M, N theo lần lượt là trung điểm AD với SC. I = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.GiảiSA (ABCD)Gọi O = AC ∩ BDTrong ∆SAC bao gồm ON // SA ⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)Ta gồm NO = Tính S∆AIB = ?ABD só I là trọng tâm ⇒S∆ABI =S∆ABO = S⋄ABCD = a.a = ⇒ SANIB =NO.S∆AIB = bài bác 17. Hình chóp SABCD tất cả đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD) (ABCD), ∆SAD đều. điện thoại tư vấn M, N, p. Lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích hình chóp CMNPGiải- điện thoại tư vấn E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD(SAD) (ABCD)⇒SE (ABCD)- gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Thường thấy F ∈ EB với F là trung điểm EBTa bao gồm MF = SE = S∆CNP = VCMNP = S∆NCP.MF = dìm xét: có thể dùng cách thức toạ độ để giải với gốc toạ độ O .0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ESBài 18: cho hình trụ có những đáy là hai hình trụ tâm O cùng O’ nửa đường kính đáy bằng độ cao bằng a. Trên đường tròn vai trung phong O lấy A, trên phố tròn vai trung phong O’ mang B. Làm thế nào để cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’ABGiảiKẻ con đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D.Ta có bảo hành A’D bảo hành A’A ⇒ bảo hành (AOO’A’) ⇒BH là con đường cao của tứ diện BAOO’ SAOO’ =, A’B =∆A’BD vuông ngơi nghỉ B ⇒ BD=a∆O’BD gần như ⇒ BH= ⇒VBAOO’ =SAOO’ = bài xích 19: mang lại hình chóp tất cả ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M nằm trong cạnh SA, AM = . (BCM) ∩ SD = N. Tính thể tích hình chóp S.BCMNGiảiTa bao gồm SAB=600∆SAB vuông trên A tất cả AM = , AB = a ⇒ ABM = 300Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMNta tất cả SH=SB sin 300 = aBC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒MN = ⇒SBCMN =⇒VSBCMN = SBCMN = bài xích 20: đến hình chóp SABCD gồm ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N theo lần lượt là trung điểm SA với SD. Minh chứng rằng BCMN là hình chữ nhật cùng tính thể tích hình chóp S.BCNMGiảiTa bao gồm BC//AD ,BC= ,MN//AD , MN= ⇒BC = MN , BC// MN (1)BC ⊥ABBC ⊥SA⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)Từ (1) với (2) ta bao gồm BCNM là hình chữ ... OA chảy 600 = aVì ∆ABC các cạnh a yêu cầu S∆ABC = ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O = bài xích 2: cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ bao gồm đáy ABC là 1 tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụGiảiDễ thấy AB (ACC’A’) đề nghị (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300∆ABC vuông tại A tất cả =600, AC=b đề nghị BC=2b với AB=b.vì AB (ACC’A’) nên AB b AC’∆ABC’ vuông trên A tất cả AC’ = ∆ACC’ vuông tại C tất cả (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2⇒CC’ = 2b =AA’. S∆ABC = CA.CBsin6oo = ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ =b3 bài bác 3Dạng 2: tỉ số thể tíchA/. Phương pháp: trả sử mặt phẳng α phân chia khối nhiều diện thành nhì khối rất có thể tích là V1 cùng V2. Để tính k = ta tất cả thể:-Tính thẳng V1, V2 bởi công thức ⇒ k-Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ kTa có các tác dụng sau:+Hai khối chóp tất cả cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bởi tỉ số hai tuyến đường cao tương ứng.+Hai khối chóp tất cả cùng độ dài con đường cao thì tỉ số thể tích bởi tỉ số hai diện tích s đáy.+(chỉ hợp lý cho khối chóp tam giác (tứ diện))B. Những bài tậpBài 1: Chóp SABCD tất cả đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) đựng AM với //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.Giải-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P) ⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD (vì I là trọng tâm ∆SAC)mà VSABD = VSCBD = VSABCDBài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA (ABCD). (SC, (SAB)) = α. Mắp phẳng (P) qua A cùng vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích nhì phần đó.GiảiKí hiệu K1 = VSMAQNV2 = V - V1Gọi O = AC ∩ BD∆SAC kẻ AN SCE = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)vì (P) SCmà BD SC BD AC BD SA BD (SAC) BD ⊂ (SAC)⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BDCB AB (gt)CB SA (vì SA (ABCD))⇒CB (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = αV1 = 2VSANQ, V = 2VSACBTam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = BC AB (gt)BC SA (vì SA (ABCD))⇒BC SBTam giác vuông SBC: cos α = ⇒ SC = Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanαBài 3: SABCD là hình chóp tứ giác hồ hết cạnh a, mặt đường cao h. Mặt phẳng qua AB (SDC) phân chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích nhị phần đó.Bài 4: mang lại hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) phân tách hình lập phương.GiảiGợi ý:Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)Để ý: ED’ = a, FC =, PD’ =, CQ = Tính được V1 = V2 = V- V1 = a3 - = bài bác 5: mang lại tứ diện SABC rước M, N ở trong cạnh SA, SB sao cho,. Phương diện phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành nhị phần. Tính tỉ số thể tích nhì phần này.GiảiDễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFABV1 = VSCEF + VSFME + VSMNE⇒⇒VSABE =V ⇒ V1 = V + V + V = V bài 6: mang đến lăng trụ đứng tam giác hầu hết ABCA’B’C’ bao gồm cạnh đáy và ở kề bên đều bằng a. M, N, E theo thứ tự là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ vì chưng (MNE) sinh sản ra.GiảiDễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo tiết diện là ngũ giác MNEFIGọi V1, V2 tương xứng là thể tích phần trên với phần bên dưới của thiết diện, ta cóV1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EFV2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMISo sánh từng phần tương xứng ta gồm V1 = V2 = 1Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. O = AC BD, ox (ABCD). đem S Ox, S O. Khía cạnh phẳng qua AC với vuông góc (SAD) chia hình chóp thành nhị phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.Dạng 3 .Phương pháp thể tích : chứng tỏ đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ một điểm tới một khía cạnh phẳngdựa vào thể tích.Bài 1: SABC gồm SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120oTính D(A,(SBC)).GiảiS∆ABC = AB.BC.sin120o = = a3SSABC = S∆ABC .SA= = a3Kẻ SM BCBC SA (vì SA (ABC))⇒BC AM ⇒ AM = a∆SAM vuông tại A tất cả SM = 2aS∆SBC = SM.BC = 2a2d(A, (SBC)) =aBài 2: SABC bao gồm đáy ABC là tam giác những cạnh a, SA (ABC), SA =2a. `Tính d(A, (SBC))GiảiS∆ABC = = VSABC =SA.S∆ABC = . Gọi M là trung điểm BC AM BCBC SA ⇒BC SMAM = ∆SAM vuông trên A tất cả SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + a2 = a2 ⇒ SM = aS∆SBC = SM.BC = a2d(A, (SBC)) =aBài 3: đến tứ diện ABCD tất cả AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD)) ?GiảiDễ thấy ∆ABC vuông trên A .S∆ABC = AB.AC = 6. VDABC = S∆ABC.DA = 8∆DAC có DC = 4. ∆DAB gồm DB = 5∆DBC gồm BC = BD = 5 ⇒ ∆DBC cân tại B, gọi M là trung điểm DC ⇒BM DCBM = . S∆DBC = BM.DC = ..4 = 2d(A, (DBC)) =aBài 4: đến tứ diện ABCD bao gồm AB = a; CD = b, các cạnh sót lại bằng c. Tính d(A, (BCD))Giải∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD ⇒AM = BM, DC (ABM)Gọi N là trung điểm AB ⇒ MN ABMN2 = BM2 - BN2 = c2 + S∆AMN = VABCD = 2 VBCMA = 2.CM.S(∆ABM) = V∆BCD = BM.CD = .b = d(A, (BCD)) =Bài 5: đến tứ diện ABCD gồm AB = CD = x những cạnh còn lại bằng 1.a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo xb)Tính d(A, (BCD))Tương tự bài 4 Đáp số: VABCD = d(A, (BCD)) = xBài 6: mang đến lăng trụ đứng ABCA1B1C1 tất cả AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a cùng BAC = 120o. Hotline m là trung điểm của cạnh CC1. Minh chứng rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ bỏ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)GiảiĐưa với hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: nơi bắt đầu toạ độ A1. Trục A1Z hướng theo Trục A1y phía theo Trục A1x tạo nên với trục Oy góc 90o và phía bên trong MP (A1B1C1).Toạ độ các điểm:A1(0 ; 0; 0), B1(, C1(0; 2a; 0)A(0 ; 0; 2a), B(, C(0; 2a; 2a)M(0; 2a; a)(-a)(0; 2a; a), (0) = 0+5a2 - 5a2 = 0 (BM MA1 )Thể tích khối chóp AA1BM bởi V = | <>|= -a -a 2a a ; 0 a ; 0 2a =⇒VAA1BM = S∆BMA1 = . = 3a2 ⇒ khoảng cách từ A tới (BMA1) bởi h = bài bác 7: cho tứ diện OABC. Mang M phía trong tam giác ABC, những đường trực tiếp qua M // cùng với OA, OB. OC cắt những mặt OBC, OCA, OAB theo lần lượt tại A1, B1, C1.Chứng minh rằng: GiảiNối M với những đỉnh O,A,B,C. Khi đóVOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA1= Xét Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK∆OAH ∾ A1MK ⇒ tương tự như ta gồm Vậy bài bác 8: mang sử M là 1 điểm nằm trong tứ diện ABCD. Những đường trực tiếp MA, MB, MC, MD cắt những mặt đối lập tại A1, B1, C1, D1.Chứng minh rằng GiảiNối M với tư đỉnh của tứ diện ABCD ta có:V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC1= Xét call H, K theo lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒Tương tự: ; ; bài xích 9: cho hình chóp tứ gíc số đông SABCD trên những cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 làm sao cho ; ; mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD trên D1. Chứng minh rằng GiảiTa tất cả VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = (1) (2)Cộng vế cùng với vế (1) với (2) ta đượcTương tự: (4) (5)Cộng vế với vế (4) cùng (5) ta đượcTừ (3) và (6) ta bao gồm ⇒Phần 2. Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nónA/. Lý thuyết.1/Định nghĩa:-Thể tích khối mong (Sgk HH12 – Trang 44)-Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50)-Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56)2/Các công thức:a)Thể tích khối mong V = , R: bán kính mặt cầub)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều caoc)Thể tích khối nón V = Sđáy.h , h: chiều caoB/.Bài tậpở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón phụ thuộc vào các công thức trên.Bài 1: mang đến lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, ở bên cạnh bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụGiải-Gọi O và O’ là trung ương ∆ABC với ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của những đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ xuất xắc I là trung ương mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ-Bán kính mặt ước là R = IATam giác vuông AOI có: AO = OI = ⇒AI2 = OA2+OI2 =⇒ AI = V= AI2 = V= bài 2: mang đến hình chóp tứ giác đều sở hữu cạnh đáy bởi a, kề bên hợp với lòng một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.GiảiGọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta tất cả SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30oGọi M là trung điểm SATrung trực của SA giảm SO tại I ⇒ I là trọng điểm mặt mong ngoại tiếp hình chóp⋄OIMA là từ bỏ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ say đắm = với AO = , AS = , SO = SA sin30o = ⇒SI = = a ⇒ VMcầu = các bài tập về khẳng định tâm, nửa đường kính mặt mong ngoại tiếp,nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, hầu như hỏithêm thể tích phương diện cầuBài 3: mang đến hình trụ tất cả đáy là tâm đường tròn trọng điểm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông vắn nội tiếp trong mặt đường tròn vai trung phong O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) với đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụGiải ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) với đáy bởi đó: ADA’ = 60o∆OAD vuông cân đề nghị AD = OA = R∆ADA’ gồm h = AA’ = ADtan60o = RV = R2h = R3Bài 4: phía bên trong hình trụ tất cả một hình vuông vắn ABCD cạnh a nội tiếp nhưng A, B thuộc mặt đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc mặt đường tròn lòng thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.GiảiGọi I, J là trung điểm của AB cùng CDTa có: OI AB; IJ giảm OO’ tại ttrung điểm M của OO’ MIO = 45o là góc của phương diện (ABCD) với đáy, bởi vì đó:O’I = ; R = h = 2OM =Vậy V = R2h = Bài 5: Một hình tròn có diện tích toàn phần S = 6. Xác minh các form size của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.GiảiSTP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2 = 3 V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3RV’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1Dựa vào bảng đổi thay thiên ta tất cả VMax ⇔R = 1 và h = 2Bài 6: Một khía cạnh phẳng (P) qua đỉnh hình nón giảm đường tròn lòng một cung α và (P) tạo thành với đáy một góc β. Cho khoảng cách từ trọng tâm O của đáy mang lại (P) bởi a. Tính thể tích của khối nón.GiảiGọi E là trung điểm AB ta gồm OES= β ; AOB= αVẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:SO= cùng OE=Bán kính đáy R=OA=Thể tích khối nón là:V=Bài 7: đến hình nốn đỉnh S, con đường cao SO = h, nửa đường kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C). 1.Tính thể tích khối nón bao gồm đỉnh S với đáy là (C).2.Tìm x nhằm thể tích này phệ nhátGiảiTa có thể tích khối nón V=V’=V’ = 0 ⇔ x= h (loại)Dựa vào bảng phát triển thành thiên ta có: V Max ⇔x =Bài 8: mang lại hình trụ có nửa đường kính đáy x, độ cao y, diện tích s toàn phần bằng 2.Với x như thế nào thì hình tròn tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x với tìm giá chỉ trị lớn số 1 của V.GiảiTa có Stp=Sxq+2Sđ=Theo giả thiết ta bao gồm 2 (xy+x2)=2⇔xy+x2 =1 ⇔ y =.Hình trụ lâu dài y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0