Giới hạn dãy số toán cao cấp

     

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài bác này là ôn tập, khối hệ thống hóa và cải thiện các kỹ năng về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tiếp của hàm số.

Bạn đang xem: Giới hạn dãy số toán cao cấp

Bạn đang xem: những công thức tính số lượng giới hạn trong toán cao cấp

trả lời học • Đây là bài bác học nhằm mục tiêu ôn tập và hệ thống hóa lại những kiến thức toán học đã học vào chương trình thêm nên bạn cần đọc kỹ lại các định hướng về hàm số….

Xem thêm: Top 5 Những Đồ Vật Màu Xanh Dương Đẹp, Hình Ảnh Đồ Vật Màu Xanh Dương

*
bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng mục tiêu • hiểu được quan niệm hàm số, giới hạn, sựBạn yêu cầu học cùng làm bài xích tập của bài bác nàytrong nhì tuần, mỗi tuần khoảng 3 mang lại 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tiếp • Áp dụng phần mềm toán để thống kê giám sát với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài bác này là ôn tập, hệ thốnghóa và cải thiện các kiến thức về hàm số một biến đổi số: Giới hạn, tính tiếp tục củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm mục tiêu ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học vẫn học vào chương trình phổ quát nên bạn phải đọc kỹ lại các kim chỉ nan về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn đề xuất làm bài bác tập càng các càng xuất sắc để củng cầm và nâng cao kiến thức. 1 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một vươn lên là số1.1.1. Định nghĩa hàm số một đổi mới số cho X là tập vừa lòng khác trống rỗng của R . Ta gọi ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến đổi số trên tập thích hợp X , trong những số đó x là vươn lên là số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc vào hay hàm số của x . Tập đúng theo X hotline là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X call là miền quý giá của f nếu như hàm số một biến hóa số mang đến trong dạng biểu thức: y = f (x) mà lại không nói gì thêm thì ta gọi miền khẳng định của hàm số là tập hợp đầy đủ giá trị thực của thay đổi số x làm cho biểu thức tất cả nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác minh khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là . Thuận lợi thấy rằng miền giá trị của hàm y là . Miền xác minh của một hàm số rất có thể gồm những tập bé rời nhau, trên mỗi tập con này lại có một phép tắc riêng để xác minh giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi các công thức không giống nhau tùy nằm trong vào quý giá của biến. Ví dụ như 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp những điểm tách rạc, cũng rất có thể gồm một vài cung tức tốc Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 lúc x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 câu hỏi vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác minh là một khoảng chừng số thực thường được khẳng định theo trình tự như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,…, x n từ miền khẳng định của hàm số (càng những điểm và các điểm càng ngay sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương xứng của hàm số y1 = f (x1 ),…, y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),…, M n = (x n , y n ) • Nối những điểm đã khẳng định nói bên trên ta bao gồm hình ảnh phác họa của trang bị thị hàm số. Giải pháp vẽ như trên không trả toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ gia dụng thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minh họa Hình 1.2 những đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của quý giá của hàm số và biến đổi số. Chú ý vào đồ thị rất có thể dễ dàng quan giáp xu hướng đổi khác của quý hiếm hàm số lúc biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số 1-1 điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) xác minh trong khoảng tầm (a, b) • Được điện thoại tư vấn là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ vệt đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f sút ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được gọi là đối chọi điệu bên trên (a, b) nếu nó chỉ đối chọi điệu tăng hoặc chỉ đối chọi điệu giảm trong tầm này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là mặt đường “đi xuống” nếu chú ý từ trái lịch sự phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập phù hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là các hàm lẻ trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn thừa nhận trục Oy có tác dụng trục đối xứng, còn đồ dùng thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm vai trung phong đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được hotline là tuần trả trên miền khẳng định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn trên số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D cùng f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên Nếu trong các số p. Nói trên, tồn tại một số trong những dương bé dại nhất – ký hiệu do T – thì T được call là chu kỳ cơ phiên bản của f . Lấy ví dụ như 5: những hàm sin x, cos x phần đông tuần hoàn với chu kỳ 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx những tuần hoàn với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 hơn nữa các chu kỳ nói trên đông đảo là những chu kỳ cơ bản. Thiệt vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử trường tồn số dương T bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Hàm số g đổi mới x thành y theo phép tắc trên gọi là (hàm số) vừa lòng của nhì hàm f và ϕ . Cam kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong giải pháp ký hiệu trên, hàm nào lép vế lại có tác động ảnh hưởng trước đến đổi thay x ). Lấy ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm thích hợp của hai hàm y = u 5 với u = sin x . Cách nói sau cũng rất được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm hợp của hai hàm f (x) = x 5 cùng ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) gồm miền xác định X , miền cực hiếm Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại nhất x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 có nghiệm độc nhất vô nhị trong X ) thì quy tắc phát triển thành mỗi số y ∈ Y thành nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình f (x) = y là 1 trong những hàm số đi từ Y cho X hotline là hàm ngược của hàm f , cam kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dãi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy một ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) bao gồm hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • các hàm lượng giác quen thuộc đều phải sở hữu hàm ngược với cùng 1 cách cam kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục ( ( 0, π ) → R ) tất cả hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • vày thường ký kết hiệu x nhằm chỉ biến tự do và y nhằm chỉ biến phụ thuộc vào nên khi màn trình diễn hàm ngược thay vị x = f −1 (y) có viết y = f −1 (x) . Ví dụ điển hình y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không chuyển đổi như khi đổi vai trò x,y lẫn nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thiết bị nhất. Thật vậy, điện thoại tư vấn (C) và (C’) thứu tự là đồ gia dụng thị của nhị hàm f (x) với f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ” = (y, x) ∈ (C “) Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Các hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cung cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y = x α (α ∈ R) Miền xác minh (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . O giả dụ α ≥ 0 , MXĐ là R . O trường hợp α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 ví như α = , phường ∈ R* thì MXĐ là R + trường hợp o phường p chẵn và R nếu p. Lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu α vô tỷ, MXĐ được quy cầu là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch trở nên nếu 0 1 cùng nghịch biến đổi nếu o 0 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục y = cos x : bao gồm MXĐ là R ,o MGT ; cho khớp ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm màn biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng 2π . Y = tgx : có MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác định các các chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) với trục rã là mặt đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ cơ bạn dạng π . Y = cotgx: bao gồm MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực xo với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) với trục cotg là con đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị các hàm con số giác 9 bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • hàm vị giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : tất cả MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là 1 trong hàm số được thành lập từ những hàm số sơ cấp cho cơ phiên bản và hàm hằng thuộc với một vài hữu hạn những phép toán số học tập (cộng, trừ, nhân chia) và những phép toán rước hàm hợp. Lấy ví dụ như 8: các hàm số sau gần như là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • các chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và số lượng giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta gọi dãy số là 1 trong tập hợp những số (gọi là những số hạng) được viết theo một thứ tự, giỏi được đặt số bằng những số trường đoản cú nhiên. Để cho một dãy số, fan ta rất có thể dùng các phương thức như liệt kê, công thức bao quát và bí quyết truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo đúng thứ từ bỏ (nếu ko viết được không còn thì cần sử dụng dấu “…” để thể hiện dãy xem thêm tục). • công thức tổng quát: chỉ rõ cách khẳng định một số hạng bất kỳ chỉ nên biết thứ từ bỏ của số hạng đó trong dãy. • phương pháp truy hồi: chỉ rõ cách khẳng định một số hạng khi biết những số hạng liền trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có chân thành và ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, hoàn toàn có thể xem là cách trình diễn bằng quy nạp không trả toàn. Còn hai bí quyết kia đảm bảo an toàn có thể kiếm được số hạng với lắp thêm tự ngẫu nhiên trong dãy. Lấy một ví dụ 9: dãy Fibonacci và 3 cách màn biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • cách làm tổng quát: Số hạng sản phẩm công nghệ n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • cách làm truy hồi: nhì số hạng trước tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được xem bằng tổng hai số hạng tức thời trước. Công thức tổng quát của hàng số là bí quyết biểu diễn cực tốt để hoàn toàn có thể định nghĩa hàng số. Dựa vào nó, dãy số được khái niệm một phương pháp hết sức dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là 1 trong ánh xạ (hàm số) bao gồm miền khẳng định là (hoặc một tập con các số trường đoản cú nhiên tiếp tục của ) với lấy quý hiếm trong tập các số thực R . Ta thường ký hiệu dãy số vì chưng x n n =1 xuất xắc gọn hơn x n . ∞ 11 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,…, ,…⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,…, (−1) n ,… n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,…, n 2 ,… 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,…, (D) ,…⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, hàng giảm, hàng bị chặn Dãy x n call là • dãy tăng nếu x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đơn điệu ví như nó là hàng tăng hoặc dãy giảm.

Xem thêm: Cơ Hội Làm Giàu Từ Khủng Hoảng Kinh Tế, Đầu Tư Vào Gì Khi Khủng Hoảng Kinh Tế

• Bị ngăn trên nếu như tồn trên số M làm sao cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn dưới nếu như tồn trên số m làm thế nào để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị ngăn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Trong lấy ví dụ 10 • hàng (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới vì 0 cùng bị ngăn trên bởi 1. • hàng (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi vì −1 với bị ngăn trên bởi 1. • hàng (C) là dãy tăng, bị chặn dưới vì chưng 1 không xẩy ra chặn trên nên không xẩy ra chặn. • dãy (D) là hàng tăng, bị chặn dưới bởi vì 0 với bị chặn trên vì 1.1.2.2. Giới hạn của hàng số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,…, n ,…⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: mang lại trước một trong những ε > 0 bé tùy ý thì sẽ tìm kiếm được một số N làm thế nào cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n với 0 sẽ nhỏ hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, mang đến trước khoảng ε = 0, 05 thì chỉ cần n = 8 thì x n − 0 = 0 cho trước (bé tùy ý), mãi sau số tự nhiên và thoải mái n 0 làm sao cho với hầu hết n > n 0 thì x n − a bài bác 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên Ta viết: lim x n = a tuyệt x n → a lúc n → ∞ . N →∞ hàng x n được điện thoại tư vấn là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n = a . Trong trường phù hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong định nghĩa trên, số n 0 nhờ vào vào ε yêu cầu ta viết n 0 = n 0 (ε) . Lấy một ví dụ 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thiệt vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với mỗi ε > 0 bất kỳ chỉ đề nghị chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì khi n > n 0 có ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 mang lại trước (lớn tùy ý), mãi mãi số thoải mái và tự nhiên n 0 làm thế nào để cho với các n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ và là hàng phân kỳ. N →∞ Trên phía trên chỉ phát biểu định nghĩa số lượng giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu cụ thể hơn về giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính độc nhất vô nhị của giới hạn Định lý: nếu như một dãy có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy đó là dãy bị ngăn . • giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên tắc giới hạn kẹp nếu như có tía dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có số lượng giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass hàng số tăng với bị chặn trên (hoặc sút và bị ngăn dưới) thì hội tụ. 13 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.2.4. Những định lý về giới hạn của dãy số cho x n , y n là những dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa gồm thể chứng tỏ các kết quả sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chú ý rằng khi cả x n , y n có các giới hạn vô cực thì nhìn bao quát không áp dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Lúc ấy ta được các công dụng nói trên. Những dạng vô định thường gặp mặt là 0∞ đề xuất dùng các phép thay đổi để khử dạng vô định. Lấy ví dụ 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Số lượng giới hạn và sự thường xuyên của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) trả sử hàm số f (x) xác định ở sát bên điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A lúc x dần tới x 0 nếu: với đa số số ε > 0 cho trước, hồ hết tồn tại một số trong những δ > 0 làm thế nào cho khi: x − x 0 x 0 hay x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • quá trình x tiến đến x 0 về phía bên phải, có nghĩa là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc dễ dàng và đơn giản hơn là x → x 0 + • quá trình x tiến đến x 0 về phía mặt trái, tức là x → x 0 với điều kiện x x 0 • giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: mang sử ϕ( x) với f (u) vừa lòng các điều kiện: lim ϕ(x) = b và lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • trường thọ số δ > 0 sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: ví như hàm số sơ cung cấp f (x) xác minh trong khoảng chừng chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: trường hợp tồn tại số δ > 0 thế nào cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với tất cả x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Khi đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a lấy một ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 với lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , bởi vì lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: ví như lim f (x) = 0 cùng g(x) là 1 trong hàm số bị chặn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 do lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Cực kì lớn, khôn xiết bé1.3.3.1. Tư tưởng • Đại lượng f(x) gọi là một trong những vô cùng nhỏ bé (viết tắt là VCB) lúc x → a giả dụ lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a rất có thể là hữu hạn xuất xắc vô cùng. Trường đoản cú định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong số đó α(x) là 1 trong VCB lúc x → a • Đại lượng F(x) gọi là một trong những vô cùng béo (viết tắt là VCL) lúc x → a giả dụ lim F(x) = +∞ x →a16 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 • có thể dễ dàng thấy rằng giả dụ f(x) là một trong VCB khác không khi x → a cho nên VCL f (x) 1 và trái lại nếu F(x) là một trong VCL khác không lúc x → a thì là một trong VCB F(x) lúc x → a . Chú thích: • Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là 1 trong những VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x → a1.3.3.2. đặc thù • trường hợp f1 (x), f 2 (x) là hai vcb khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những vietcombank khi x → a . • trường hợp f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu cùng là nhị VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là 1 trong những VCL lúc x → a . Tích của nhì VCL lúc x → a cũng là 1 trong những VCL khi x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé bỏng • Bậc của những VCB Định nghĩa: mang sử α( x), β(x) là hai vcb khi x → a . α(x) = 0 ; ta nói rằng α( x) là vietcombank bậc cao hơn β( x) . Giả dụ lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương vcb bậc thấp hơn β(x) . Ví như lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta bảo rằng α(x) và β(x) là hai vcb cùng bậc. Nếu như lim o x → a β(x) α(x) không tồn tại, ta nói rằng ko thể so sánh hai vcb α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Ví dụ như 14: 1 − cos x với 2x phần đa là những vcb khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 cần 1 − cos x là vietcombank bậc cao hơn 2x . Ví dụ 15: 1 x.sin với 2x là những ngân hàng ngoại thương khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên 1 1 nên x sin cùng 2x là hai ngân hàng ngoại thương khi x → 0 không tuy vậy không mãi sau lim sin x x x →0 so sánh được cùng với nhau. • VCB tương tự Định nghĩa: Hai vietcombank α ( x ) với β ( x ) không giống 0 khi x → a điện thoại tư vấn là tương đương với nhau nếu α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) dìm xét: 2VCB tương tự là trường hợp quan trọng đặc biệt của 2 ngân hàng ngoại thương vcb cùng bậc. Định lý: nếu như α(x) cùng β(x) là hai vietcombank khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) khi x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thật vậy, do α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp gỡ Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong những hàm số khẳng định trong khoảng chừng (a, b), x 0 là một trong điểm ở trong (a, b) .Ta nói rằng hàm số f liên tiếp tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 nếu hàm số f không liên tục tại x 0 , ta bảo rằng nó gián đoạn tại x 0 . Giả dụ đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) có thể viết là: lim = 0 hay lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo cách khác rằng f tiếp tục tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 ví dụ như 16: Hàm số y = x 2 liên tục tại số đông x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như vậy, bao gồm thể chứng tỏ được rằng đều hàm số sơ cấp cho cơ bản đều thường xuyên tại đều điểm trực thuộc miền xác minh của nó.18 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được call là: tiếp tục trong khoảng (a, b) trường hợp nó tiếp tục tại những điểm của khoảng đó. Tiếp tục trên đoạn , nếu nó tiếp tục tại hồ hết điểm của khoảng tầm (a, b) , đồng thời liên tục phải trên a (tức là lim f (x) = f (a) ) và thường xuyên trái trên b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Các phép toán về hàm tiếp tục Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương cùng từ định nghĩa của hàm số thường xuyên tại một điểm, hoàn toàn có thể dễ dàng suy ra: Định lý: ví như f cùng g là hai hàm số tiếp tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) tiếp tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 f (x) • tiếp tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: trường hợp hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số vừa lòng y = (f ϕ)(x) = f tiếp tục tại x 0 . Chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 bởi vì ϕ tiếp tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) thường xuyên tại u 0 . Bởi vì đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. Tính chất của hàm số tiếp tục Các định lý dưới đây (không hội chứng minh) đặt ra những đặc điểm cơ bạn dạng của hàm số liên tục. Định lý: giả dụ hàm số f (x) thường xuyên trên đoạn thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: ví như hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất m cùng giá trị lớn số 1 M của nó trên đoạn ấy, có nghĩa là tồn tại nhì điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về quý giá trung gian): nếu hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn ; m và M là các giá trị nhỏ tuổi nhất và lớn số 1 trên đoạn kia thì với đa số số μ nằm trong lòng m cùng M luôn tồn tại ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ .

Hệ quả: trường hợp f(x) liên tục trên , f(a)f(b) bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài xích này họ nghiên cứu vãn ba vấn đề là:• Những sự việc cơ bản về hàm số một trở thành số• hàng số và giới hạn của dãy số• giới hạn của hàm sốPhần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bạn dạng về hàm số một thay đổi số, một số trong những tính chấtcủa hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học tập viên sẽ tìm hiểu cáckhái niệm về dãy số và số lượng giới hạn của hàng số, các định lý vận dụng để tính số lượng giới hạn của hàng số.Phần cuối cùng trình bày về số lượng giới hạn hàm số, hàm số liên tục và những khái niệm hết sức lớn, vôcùng bé.20