Phương pháp giải phương trình lượng giác

     
Các dạng toán phương trình lượng giác, phương thức giải và bài xích tập tự cơ bản đến nâng cao - toán lớp 11

Sau khi làm quen với những hàm lượng giác thì các dạng bài bác tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà những em vẫn học trong lịch trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình lượng giác


Vậy phương trình lượng giác có những dạng toán nào, phương thức giải ra sao? chúng ta cùng khám phá qua nội dung bài viết này, đồng thời áp dụng các phương pháp giải này để triển khai các bài xích tập từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Kim chỉ nan về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, lúc đó phương trình (1) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 và x = π - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 

*
 và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Lúc đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 và x = π - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Lúc đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có những nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay đk của phương trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn điều khiếu nại

*

- Nếu α vừa lòng điều kiện

*

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức nghiệm khớp ứng với từng phương trình.

* ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* giải mã bài 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một vài phương trình lượng giác gửi được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng những công thức biến đổi để mang về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bạn dạng như Dạng 1.

* ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ cùng với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* lưu lại ý: bài bác toán áp dụng công thức đổi khác tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy một ví dụ 3: Giải những phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* giữ ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng các thành tích và bí quyết nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm con số giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: 

* ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai gồm một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta gồm phương trình at2 + bt + c = 0.

* giữ ý: Khi để t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải tất cả điều kiện: -1≤t≤1

* lấy ví dụ 1: Giải những phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ với t = 1: sinx = 1 

*

+ với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Nạp Tiền Vào App Store Bằng Thẻ Điện Thoại, Cách Nạp Tiền Vào Id Apple Bằng Thẻ Cào

+ t = 3/2 >1 nên loại

*
*
 
*

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

 - Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình bởi a≠0,

 Chia 2 vế đến cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - giả dụ phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cầm cố d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đem lại dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ giải pháp 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ giải pháp 2: Sử dụng bí quyết sinx cùng cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* lưu giữ ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) gồm nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 khi đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* lưu lại ý: bài bác toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng cùng với sinx với cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Cách Cắt Video Trên Youtube Trên Điện Thoại, Cách Cắt Video Trực Tuyến Trên Điện Thoại

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, lúc đó:  thay vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- lưu giữ ý: 

*
 nên điều kiện của t là: 

- vì thế sau khi tìm kiếm được nghiệm của PT (*) buộc phải kiểm tra (đối chiếu) lại đk của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 chưa hẳn là PT dạng đối xứng nhưng mà cũng rất có thể giải bằng phương pháp tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải những phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương tự, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   thay vào phương trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ cùng với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. Bài bác tập về những dạng toán Phương trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Với các giá trị như thế nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° giải mã bài 2 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những phương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT bao gồm nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT tất cả nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° giải mã bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến phía trên ta cần so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT bao gồm họ nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số cùng Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° giải thuật bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT tất cả tập nghiệm 

*

* bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi ấy PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0