Tính độ dài đường trung tuyến

     

Công thức tính độ dài trung con đường trong tam giác & những dạng bài bác tập

Sau đây thpt Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến các bạn công thức tính độ dài trung tuyến đường trong tam giác rất hay và những dạng toán thương gặp. Hãy share để nắm chắc chắn thêm phần kiến thức Hình học 12 vô cùng đặc biệt quan trọng này chúng ta nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN vào TAM GIÁC 


1. Đường trung tuyến đường là gì? Đường trung tuyến đường trong tam giác là gì?

Bạn vẫn xem: phương pháp tính độ dài trung tuyến đường trong tam giác & các dạng bài bác tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 trong đường thẳng trải qua trung điểm của mặt đường thẳng đó


Đường trung tuyến trong tam giác là một trong đoạn thẳng nối từ bỏ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Từng tam giác có 3 con đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Tính độ dài đường trung tuyến

2. đặc thù của con đường trung đường trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải sở hữu tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác thường có 3 đặc điểm như sau:

3 mặt đường trung tuyến đường trong tam giác cùng đi sang 1 điểm, điểm này cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ lâu năm của con đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 mặt đường trung đường được call là trọng tâmVị trí giữa trung tâm trong tam giác: trọng tâm của 1 tam giác phương pháp mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài mặt đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là một trong những trường hợp đặc biệt của tam giác, vào đó, tam giác sẽ sở hữu được một góc có độ béo là 90 độ, với hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

– vì chưng đó, mặt đường trung con đường của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những đặc thù của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng cùng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác gồm trung tuyến đường ứng với cùng một cạnh bằng nửa cạnh kia thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung con đường của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung tuyến ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và phân chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến đường của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một trong những phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ 1 phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c thứu tự là những cạnh vào tam giác

ma, mb, mc lần lượt là phần đông đường trung con đường trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, gồm BC = a, CA = b với AB = c. Minh chứng rằng nếu như b2 + c2 = 5a2 thì nhì trung tuyến đường kẻ trường đoản cú B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Xem thêm: Bảng Tra Tiết Diện Dây Dẫn Điện 3 Pha, Bảng Tra Tiết Diện Dây Dẫn

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 6)" />

Gọi D với E thứu tự là trung điểm của AB với AC, G là giữa trung tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng cách làm trung tuyến đường trong tam giác ABC ta có:

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung đường kẻ tự B cùng C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC gồm BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung tuyến đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự là ma; mb; mc.

Áp dụng công thức trung đường ta có:

*
công thức tính độ dài đường trung con đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài những đường trung con đường (là độ nhiều năm đoạn thẳng) buộc phải nó luôn dương, vị đó:

*
bí quyết tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung tuyến đường BD và CE giảm nhau tại G. Kéo dãn AG giảm BC tại H.

a. đối chiếu tam giác AHB và tam giác AHC.

b. điện thoại tư vấn I với K theo thứ tự là trung điểm của GA và GC. Chứng tỏ rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 11)" />

a. Ta tất cả BD là mặt đường trung con đường của tam giác ABC

CE là con đường trung tuyến đường của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Mà AH trải qua G phải AH là đường trung con đường của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB cùng tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta bao gồm IA = IG nên CI là đường trung tuyến đường của tam giác AGC (1)

Ta lại sở hữu KG = KC đề xuất AK là đường trung đường của tam giác AGC (2)

DG là con đường trung con đường của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 mặt đường trung con đường CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 2: Cho tam giác ABC tất cả BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung con đường của tam giác ABC.

Xem thêm: Hình Nền Đẹp Cho Bài Thuyết Trình, Bộ Hình Nền Powerpoint Đẹp

Lời giải:

Gọi độ nhiều năm trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC thứu tự là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung con đường ta có:

*

Vì độ dài những đường trung tuyến đường (là độ dài đoạn thẳng) yêu cầu nó luôn luôn dương, vày đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân nặng tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ con đường tuyến MI. Chứng tỏ MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta tất cả MI là mặt đường trung con đường của ∆MNP phải IN = IP

Mặt không giống ∆MNP là tam giác cân tại M

=> mi vừa là mặt đường trung tuyến vừa là con đường cao

=> mi ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC bao gồm AB = AC, hotline K là giao điểm của hai đường trung con đường BM cùng CN. Chứng tỏ rằng:

a. Tam giác BNC với tam giác CMB bởi nhau

b. KB = KC

c. BC

*
bí quyết tính độ dài đường trung con đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
công thức tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
công thức tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là con đường trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Suy ra NM là mặt đường trung bình của tam giác ABC

*
cách làm tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta bao gồm ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền đề nghị AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông trên A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 centimet ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương từ bỏ ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài tía đường trung tuyến đường của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đó là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng bí quyết trung tuyến đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC bao gồm AB = 3, BC = 5 cùng độ dài con đường trung tuyến 

*
. Độ dài AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung đường của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

*

Đáp án B